Dérivées des fonctions de référence et opérations - Cours

Dérivées des fonctions de référence

\(\begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Fonction}&\text{La fonction}~f~\text{est définie sur } \mathbb{R}~\text{ par :}&\text{La fonction dérivée}~f'~\text{est définie sur } \mathbb{R}\text{ par :}\\ \hline \text{Fonction constante}&f(x)=k\text{ où }k\in\mathbb{R}&f'(x)=0 \\ \hline \text{Fonction identité}&f(x)=x&f'(x)=1\\ \hline \text{Fonction carré}&f(x)=x^2&f'(x)=2x\\ \hline \text{Fonction cube}&f(x)=x^3&f'(x)=3x^2 \\ \hline\end{array}\)

Dérivées et opérations

Soit `u` et `v` deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle `I` .

• La fonction `u+v`  est dérivable sur `I` et    \((u+v)'=u'+v'\)  .
  
• Pour tout réel `k` , la fonction `ku` est dérivable sur `I` et    \((ku)'=ku'\) .
  

Exemple 1

Soit  \(f\)  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x)=x^3+x^2\) .

La fonction  \(f\)  est de la forme  \(u+v\)  avec  \(u(x)=x^3\)  et  \(v(x)=x^2\) .

Les fonctions  \(u\)  et  \(v\)  sont dérivables sur  \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel  \(x\) ,  \(u'(x)=3x^2\)  et  \(v'(x)=2x\) .

La fonction  \(f\)  est donc dérivable sur  \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel  \(x\) ,  \(f'(x)=3x^2+2x\) .

Exemple 2

Soit  \(g\)  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(g(x)=5x^3\) .

La fonction  \(g\)  est de la forme  \(ku\)  avec  \(k=5\)  et  \(u(x)=x^3\) .

La fonction  \(u\)  est dérivable sur  \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel  \(x\) ,  \(u'(x)=3x^2\) .

La fonction  \(g\)  est donc dérivable sur  \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel  \(x\) ,  \(g'(x)=5 \times 3x^2\)  soit  \(g'(x)=15x^2\) .

Exemple 3

Soit `h` la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=4x^2-3x+5\) .

La fonction `h` est de la forme `u+v+w` avec \(u(x)=4\times x^2\) , \(v(x)=-3 \times x\) et `w(x)=5` .

Les fonctions  `u` , `v` et `w` sont dérivables sur `\mathbb{R}` et, pour tout réel `x` , \(u'(x)=4 \times 2x\) , \(\) \(v'(x)=-3 \times 1\) et \(w'(x)=0\) .

La fonction `h` est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel `x` , \(h'(x)=4\times 2x-3 \times 1+0\)  soit \(h'(x)=8x-3\) .

Cas particulier des fonctions affines

Soit `f`  une fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) par `f(x)=ax+b` où `a` et `b` sont deux réels.

La fonction `f` est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel `x` , \(f'(x)=a \times 1 + 0\) soit \(f'(x)=a\) .